[Algorithm] 최단 경로 알고리즘 개념

이번엔 최단 경로 알고리즘에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 저의 경우 최단 경로 알고리즘을 2학년 자료구조 시간에 배웠는데 마지막 장이고, 강의 시간도 얼마 없어서 교수님께서 자세히 설명 하시길 원했지만 대략적으로만 설명을 하고 3학년 알고리즘 시간에 구체적으로 배우세요 하셨지만 알고리즘 교수님께서는 2학년때 다 배운 내용이니 간단하게만 하고 넘어가겠습니다 라고 하셔서 약간 부족한 부분입니다. 그래서 코딩 테스트에 대한 알고리즘 공부도 할겸해서 다시 한 번 자세히 공부를 해보고자 해서 포스트를 작성하게 되었습니다.

최단 경로 알고리즘

최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘입니다. 그래서 길 찾기 문제라고도 불립니다. 최단 경로 알고리즘 유형에는 다양한 종류가 있는데, 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 있으며, 이런 알고리즘들을 사전에 알고 있다면 코딩 테스트 문제도 쉽게 풀 수 있습니다.
컴퓨터공학과 학부 수준에서 사용하는 최단 거리 알고리즘은 다익스트라 최단 거리 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘, 이렇게 3가지입니다. 우선은 다익스트라 최단 거리 알고리즘과 플로이드 워셜 알고리즘에 대해서만 다뤄보도록 하겠습니다. 왜냐하면 이 두 가지 유형이 코딩 테스트에서 가장 많이 등장하기 때문입니다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘

다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘입니다. 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작합니다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류됩니다. 매번 가장 비용이 적은 노드를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문입니다. 알고리즘의 원리를 간략히 설명하면 다음과 같습니다.

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.

다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있습니다. 매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인합니다. 나중에 현재 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면 더 짧은 경로도 있었네? 이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야라고 판단하는 것입니다. 따라서 방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인해 그 노드에 대하여 4번 과정을 수행한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 불 수 있습니다.
다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법은 2가지입니다.

1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
2. 구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드

코딩 테스트에서는 1번처럼 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드로는 시간 초과가 뜨도록 설정되어 있을 것이기 때문에 코딩 테스트를 준비한다면 2번 방법에 대해서는 어느정도 숙지를 하고 있어야 하며 기억을 하고 있어야 한다고 생각합니다. 그래서 이번엔 2번 방법에 대해서만 다뤄보도록 하겠습니다.
우선 방법 1의 시간 복잡도에서 대해서 설명을 하고 가자면, 시간 복잡도는 O($V^2$) 입니다. 왜냐하면 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인해야 하기 때문입니다.
그럼 이제 방법2 다익스트라 알고리즘에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 방법2 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)를 보장하여 해결할 수 있습니다. 여기서 V는 노드의 개수이고, E는 간선의 개수를 의미합니다. 그리고 앞으로 방법 2 다익스트라 알고리즘을 개선된 다익스트라 알고리즘이라고 부르도록 하겠습니다.
개선된 다익스트라 알고리즘에서는 힙(heap) 자료구조를 사용합니다. 힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있습니다. 이 과정에서 선형 시간이 아닌 로그 시간이 걸릴립니다. N = 1,000,000 일 때, $\log_2N$ 이 약 20인 것을 감안하면 속도가 획기적으로 빨라지는 것임을 알 수 있습니다.

힙에 대해

힙 자료구조에 대해서 간단히 알아보도록 하겠습니다. 힙 자료구조는 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조 중 하나입니다. 우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제 한다는 점이 특징입니다. 이러한 우선순위 큐는 데이터를 우선순위에 따라 처리하고 싶을 때 사용합니다.
파이썬에서는 우선순위 큐가 필요할 때 PriorityQueue 혹은 heapq 를 사용할 수 있는데, 이 두 라이브러리는 모두 우선순위 큐 기능을 지원합니다. 다만, PrioritQueue 보다는 일반적으로 heapq 가 더 빠르게 동작하기 때문에 수행 시간이 제한된 상황에서는 heapq 를 사용하는 것을 권장합니다. 또한 우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙(Min Heap) 혹은 최대 힙(Max Heap)을 이용합니다. 최소힙을 이용하는 경우 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제되며, 최대 힙을 이용하는 경우 값이 큰 데이터가 먼저 삭제됩니다. 파이썬 라이브러리에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 이용하는데 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로 최소힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합합니다.
또한 최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위해서 일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호를 붙여서 넣었다가, 나중에 우선순위 큐에서 꺼낸 다음에 다시 음수 부호를 붙여서 원래의 값으로 돌리는 방식을 사용할 수 있습니다.
그럼 우선순위 큐를 이용한 개선된 다익스트라 알고리즘에 대해 그림 예제를 통해 알아보도록 하겠습니다. 특히 단계별로 우선순위 큐가 어떻게 변하는지를 중심으로 살펴보도록 하겠습니다.

step 0 : 1번 노드가 출발 노드인 경우를 고려해봅시다. 여기서는 출발 노드를 제외한 모든 노드의 최단 거리를 무한으로 설정합니다. 이후에 우선순위 큐에 1번 노드를 넣습니다. 이 때 1번 노드로 가는 거리는 자기 자신까지 도달하는 거리이기 때문에 0입니다. 즉 거리:0, 노드:1 의 정보를 가지는 객체를 우선순위 큐에 넣으면 됩니다.
파이썬에서는 간단히 튜플 (0, 1)을 우선순위 큐에 넣습니다. 파이썬의 heapq 라이브러리는 원소로 튜플을 입력받으면 튜플의 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위 큐를 구성합니다. 따라서 (거리, 노드 번호) 순서대로 튜플 데이터를 구성해 우선순위 큐에 넣으면 거리순으로 정렬됩니다.

step 1 : 우리는 우선순위 큐를 이용하고 있으므로 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해서는 우선순위 큐에서 그냥 노드를 꺼내면 됩니다. 기본적으로 거리가 짧은 원소가 우선순위 큐의 최상위 원소로 위치해 있습니다. 따라서 우선순위 큐에서 노드를 꺼낸 뒤에 해당 노드를 이미 처리한 적이 있다면 무시하면 되고, 아직 처리하지 않은 노드에 대해서만 처리하면 됩니다.
따라서 현재 단계의 우선순위 큐에서 원소를 꺼내면 (0, 1)이 나옵니다. 이는 1번 노드까지 가는 최단 거리가 0이라는 의미이므로, 1번 노드를 거쳐서 2번, 3번, 4번 노드로 가는 최소 비용을 계산합니다. 차례대로 2(0+2), 5(0+5), 1(0+1)입니다. 현재 2번, 3번, 4번 노드로 가는 비용이 무한으로 설정되어 있는데, 더 짧은 경로를 찾았으므로 각각 갱신하면 됩니다. 이렇게 더 짧은 경로를 찾은 노드 정보들은 다시 우선순위 큐에 넣습니다. 현재 처리 중인 노드와 간선은 하늘색으로, 이전 단계에서 처리한 노드는 회색, 간선은 점선으로 표시했습니다.

step 2 : 이어서 다시 우선순위 큐에서 원소를 꺼내서 동일한 과정을 반복합니다. 이번에는 (1, 4) 의 값을 갖는 원소가 추출됩니다. 아직 노드 4를 방문하지 않았으며, 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드가4입니다. 따라서 노드4를 기준으로 노드 4와 연결된 간선들을 확인합니다. 이때 4번 노드까지의 최단 거리는 1이므로 4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로 4(1+3)과 2(1+1)입니다. 이는 기존의 리스트에 담겨 있던 값들보다 작기 때문에 다음과 같이 리스트가 갱신되고, 우선순위 큐에는 (4, 3), (2, 5)라는 두 원소가 추가로 들어가게 됩니다. 앞서 말했듯이 현재 그림에서는 튜플의 첫 번째 원소(거리)가 작은 순서대로 왼족부터 기록하고 있습니다. 따라서 갱신된 우선순위 큐 또한 그림처럼 그려집니다.

step 3 : 마찬가지로 step 3에서는 노드 2에 대해 처리합니다. 2번과 5번 노드까지의 최단 거리가 모두 값이 2로 같으므로 어떤 원소부터 처리해도 상관은 없지만, 우선순위 큐에서 2번 노드가 꺼내졌다고 가정하겠습니다. 마찬가지로 2번 노드를 거쳐서 도달할 수 있는 노드 중에서 더 거리가 짧은 경우가 있는지 확인합니다. 이번 단계에서는 2번 노드를 거쳐서 가는 경우 중 현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없습니다. 2번 노드를 거쳐서 3번 노드로 가는 경우에는 5(2+3) 인데 4번 노드를 거쳐서 3번 노드로 가는 경우 4(1+3) 보다 크기 때문에 배제하고, 그 외에 2번 노드를 거쳐서 다른 노드로 가는 경우는 3번 노드로 가는 경우 박에 없기 때문에 우선순위 큐에 어떠한 원소도 들어가지 않고 다음과 같이 리스트가 갱신됩니다.

step 4 : 이번 단계에서는 노드 5에 대해서 처리합니다. 5번 노드를 거쳐서 3번과 6번 노드로 갈 수 있습니다. 현재 5번 노드까지 가는 최단 거리가 2이므로 5번 노드에서 3번 노드로 가는 거리인 1을 더한 3이 기존의 값인 4보다 작습니다. 따라서 새로운 값인 3으로 갱신합니다. 또한 6번 노드로 가는 최단 거리 역시 마찬가지로 갱신됩니다. 그래서 이번에는 (3,3)과 (4,6)이 우선순위 큐에 들어갑니다.

step 5 : 마찬가지로 원소 (3,3)을 꺼내서 3번 노드를 기준으로 알고리즘을 수행합니다. 최단 거리 테이블이 갱신되지 않으며, 결과는 다음과 같습니다.

step 6 : 이어서 원소 (4,3)을 꺼내서 3번 노드를 기준으로 알고리즘을 수행합니다. 다만, 3번 노드는 앞서 처리된 적이 있습니다. 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 원소에는 3번 노드까지 가는 최단 거리가 4라는 정보가 들어 있습니다. 하지만 현재 최단 거리 테이블에서 3번 노드까지의 최단 거리는 3입니다. 따라서 현재 노드인 3번에 대해서는 이미 처리된 것으로 볼 수 있으므로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 (4,3)이라는 원소는 무시하면 됩니다.

step 7 : 이어서 원소 (4,6)이 꺼내집니다. 따라서 6번 노드에 대해서 처리하면 다음과 같습니다.

step 8 : 마지막으로 남은 원소를 꺼내지만, 아까와 마찬가지로 이미 처리된 노드이므로 무시합니다.

이와 같이 모든 단계를 거친 후에 최단 거리 테이블에 남아 있는 0, 2, 3, 1, 2, 4가 각 노드로의 최단 거리입니다. 위의 방법에서는 최단 거리가 가장 짧은 노드를 찾기 위해서 우선순위 큐를 이용하고 있으며, 앞서 보여줬던 방법과 비교했을 때 훨씬 빠르게 동작합니다. 파이썬 표준 라이브러리로 제공하는 PriorityQueue 와 heapq 는 데이터의 개수가 N개일 때, 하나의 데이터를 삽입 및 삭제할 때의 시간 복잡도는 O(logN)입니다. 이제 위 설명대로 동작하는 예제 코드에 대해서 다뤄보겠습니다.

"""
heapq 를 사용한 개선된 다익스트라 알고리즘 예제

입력 예시
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

출력 예시
0
2
3
1
2
4

"""

import heapq
import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미 하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력 받기, n은 노드의 개수 m은 간선의 개수
n, m = map(int, input().split())

# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c 라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []

    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하고 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0

    while q: # 큐가 비어 있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)

        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있고, heapq 에서 추출된 거리가 이미 계산된 거리 보다 큰 노드 라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue

        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]

            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))


# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력

for i in range(1, n+1):
    if distance[i] == INF: # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

콘솔 출력
0
2
3
1
2
4

개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV) 입니다. 이에 대해서 설명을 하자면 우선순위 큐 에서 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 반복되지 않습니다. 또한 V 번 반복될 때마다 각각 자신과 연결된 간선들을 모두 확인합니다. 따라서 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 총 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수해오딜 수 있습니다.
따라서 전체 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다고 볼 수 있습니다. 앞에서 말했듯이 힙에 N개의 데이터를 모두 넣고, 이후에 모두 빼는 과정은 O(NlogN)입니다. 간단하게 생각하면 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 최대 E개의 간선 데이터를 힙에넣었다가 다시 빼는 것으로 볼 수 있으므로 O(ElogE)임을 이해할 수 있습니다.
이때 중복 간선을 포함하지 않는 경우, 간선(E)는 항상 $V^2$ 보다 작습니다. 왜냐하면 모든 노드 끼리 서로 다 연결되어 있다고 했을 때 간선의 개수를 약 $V^2$으로 볼 수 있고 E는 항상 $V^2$ 이하이기 때문입니다. 다시 말해 logE는 log$V^2$보다 작습니다. 이때 O(log$v^2$)은 O(2logV) 이고, 이는 O(logV)로 볼 수 있습니다. 따라서 다익스트라 알고리즘의 전체 시간 복잡도를 간단히 O(ElogV)라고 볼 수 있는 것입니다.

플로이드 워셜 알고리즘

다익스트라 알고리즘은 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우에 사용할 수 있는 최단 경로 알고리즘입니다. 이번에 설명하는 플로이드 워셜 알고리즘은 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 겨웅에 사용할 수 있는 알고리즘입니다. 심지어 소스코드 또한 매우 짧아 다익스트라 알고리즘과 비교하면 구현 과정에서 어려움을 겪지 않을 것입니다. 다만 핵심 아이디어를 이해하는 것이 중요합니다.
다익스트라 알고리즘은 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하니씩 반복적으로 선택합니다. 그리고 해당 노드를 거쳐 가는 경로를 확인하며, 최단 거리 테이블을 갱신하는 방식으로 동작합니다. 플로이드 워셜 알고리즘 또한 단계마다 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행합니다. 하지만 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점이 다릅니다. 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O($N^2$) 의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려합니다. 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총시간 복잡도는 O($N^3$)입니다.
다익스트라 알고리즘에서는 출발 노드가 1개이므로 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 저장하기 위해서 1차원 리스트를 이용했습니다. 반면에 플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과는 다르게 2차원 리스트에 최단 거리 정보를 저장한다는 특징이 있습니다. 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문입니다. 다시 말해 2차원 리스트를 처리해야 하므로 N번의 단계에서 매번 O($N^2$)의 시간이 소요됩니다.
또한 다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘인데 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 있습니다. 노드의 개수가 N이라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 점화식에 맞게 2차원 리스트를 갱신하기 때문에 다이나믹 프로그래밍으로 볼 수 있습니다.
각 단계에서는 해당 노드를 거쳐 가는 경우를 고려합니다. 예를 들어 1번 노드에 대해서 확인할 때는 1번 노드를 중간에 거쳐 지나가는 모든 경우를 고려하면 됩니다. 정확히는 A -> 1번 노드 -> B로 가는 비용을 확인한 후에 최단 거리를 갱신합니다. 이를테면 현재 최단 거리 테이블에 A번 노드에서 B번 노드로 이동하는 비용이 3으로 기록되어 있을 때, A번 노드에서 1번 노드를 거쳐 B번 노드로 이동하는 비용이 2라는 것이 밝혀지면, A번 노드에서 B번 노드로 이동하는 비용을 2로 갱신하는 것입니다.
따라서 알고리즘에서는 현재 확인하고 있는 노드를 제외하고, N-1 개의 노드 중에서 서로 다른 노드 (A,B)쌍을 선택합니다. 이후에 A-> 1번 노드 -> B 로 가는 비용을 확인한 뒤에 최단 거리를 갱신합니다. 다시 말해 ${}_{N-1} \mathrm{ P }_2$ 개의 쌍을 단계마다 반복해서 확인하면 됩니다.

이때 O(${}_{N-1} \mathrm{ P }_2$)는 O($N^2$)이라고 볼 수 있기 때문에, 전체 시간 복잡도는 O($N^3$)이라고 할 수 있습니다. 구체적인 (K번의 단계에 대한) 점화식은 다음과 같습니다.

$D_{ab} = min(D_{ab}, D_{ak} + D_{kb})$

따라서 전체적으로 3중 반복문을 이용하여 이 점화식에 따라 최단 거리 테이블을 갱신하면 됩니다. 위의 점화식이 의미하는 내용을 말로 풀어 설명하자면, A에서 B로 가는 최소 비용과 A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용을 비교하여 더 작은 값으로 갱신하겠다는 것입니다. 즉 바로 이동하는 거리가 특정한 노드를 거쳐 이동하는 거리보다 더 많은 비용을 가진다면 이를 더 짧은 것으로 갱신한다는 것입니다. 다음 그림을 통해서 구체적인 예시를 확인해보도록 합시다.

이런 그래프가 있을 때, 우리는 다음처럼 초기 테이블을 설정할 수 있습니다. 초기 상태인 [step 0]에서는 연결된 간선은 단순히 그 값을 채워 넣고 연결되지 않은 간선은 무한이라는 값을 넣습니다. 마찬가지로 실제 구혀에서는 10억과 같이 임의의 큰 값을 무한이라고 여기고 넣습니다. 앞서 다익스트라에서와 마찬가지로 파이썬에서는 int(1e9)를 이요하는 것이 일반적입니다. 2차원 리스트에서 각 값에 해당하는 $D_ab$는 a에서 b로 가는 최단 거리입니다.
예를 들어 1번 노드에서 4번 노드로 가는 비용은 6이기 때문에 다음의 2차원 리스트의 첫 번째 행의 네 번째 열의 값이 6인 것을 확인할 수 있습니다. 그리고 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0이므로. ($1 <= i <= n$)의 범위를 가지는 모든 i에 대하여 $D_a$는 0이라는 값으로 초기화합니다. 즉 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선에 놓인 모든 원소는 0입니다.

step 0 :

step 1 : [step 1]에서는 단순히 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려합니다. 이때는 정확히 다음과 같이 6 = ${}_{3} \mathrm{ P }_2$ 가지 경우에 대해서만 고민하면 됩니다.

${}_{3} \mathrm{ P }_2$ 에서 3이 된 이유는 현재 노드의 개수가 4이기 때문입니다. 2차원 테이블에서는 다른 색으로 칠해 놓았는데 계산해야 할 값들은 구체적으로 다음과 같습니다.

$D_{23} = min(D_{23}, D_{21} + D_{13})$
$D_{24} = min(D_{24}, D_{21} + D_{14})$
$D_{32} = min(D_{32}, D_{31} + D_{12})$
$D_{34} = min(D_{32}, D_{34} + D_{14})$
$D_{42} = min(D_{42}, D_{41} + D_{12})$
$D_{43} = min(D_{43}, D_{41} + D_{13})$

이 6가지 경우만 하나씩 확인하며 값을 계산하여 갱신합니다. 예를 들어 $D_{23} = min(D_{23}, D_{21} + D_{13})$은 기존의 2번 노드에서 3번 노드로 가는 비용보다 2번 노드에서 1번 노드를 거쳐 3번 노드로 가는 비용이 더 작다면 그것으로 갱신해주겠다는 의미를 가집니다. 그래서 $D_{23}$ 의 값은 $D_{23}$과 (D_{21}+D_{13}) 중에서 더 작은 값으로 교체됩니다.

이렇게 6가지 식을 모두 계산해서 값을 갱신하면 테이블이 다음과 같이 바뀝니다. 예를 들어 $D_{24}$는 원래 무한의 값을 가졌는데 $D_{21}+D_{14}=9$와 비교해서 9로 갱신됩니다.

step 2 : 마찬가지의 알고리즘을 [step 2]에 대해서도 수행할 수 있습니다. 현재 테이블의 상태는 다음과 같습니다.

이번에는 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 계산해야 하므로 2번 노드를 제외한 1번, 3번, 4번 노드에서 2개의 노드를 뽑는 경우를 고려합니다. 정확히 (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 4), (4, 1), (4, 3) 으로 이전 1번 노드를 거쳐가는 경우와 같이 6가지 경우입니다. 각각의 위치를 테이블 상에서 하늘색으로 표시하면 다음과 같습니다.

마찬가지로 하늘색 부분에 대해서만 고려하면, 갱신 결과는 다음과 같습니다. 예를 들어 $D_{13}$은 원래 무한의 값을 가졌는데 $D_{12}+D_{13}=11$과 비교해서 11로 갱신됩니다.

step 3 : 이번엔 3번 노드를 거쳐 가는 경우를 계산하면 다음과 같이 됩니다.

3번은 제외하고 1번, 2번, 4번 중에서 두 쌍을 선택하는 경우는 (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (4, 1), (4, 2)로 역시 6가지 경우가 있고, 이 6가지 경우를 색칠하면 다음과 같습니다.

계산하여 값을 채우면 다음과 같습니다.

step 4 : 4번 노드에 대해서도 처리할 수 있고, 현재 테이블의 상태는 다음과 같습니다.

4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하면 다음과 같이 6가지 경우입니다.

갱신된 결과는 다음과 같습니다.

최종결과

노드의 개수가 4개이므로 총 [step 4]까지 알고리즘을 수행하였습니다. 그래서 [step 4]가 모두 수행되었을 때 최종적으로 테이블의 형태는 다음과 같습니다. 여기 기록되어 있는 내용이 모든 노드에서 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 표현하고 있습니다. 예를 들어 $D_{13}$ (첫 번째 행의 세 번째 열)은 8이라는 값을 가지고 있는데, 이는 1번 노드에서 3번 노드로 가는 최단 거리가 8이라는 의미입니다.

소스코드는 다음과 같습니다. 시간 복잡도는 O($N^3$) 입니다.

"""
플로이드 워셜 알고리즘

입력 예시
4
7
1 2 4
1 4 6
2 1 3
2 3 7
3 1 5
3 4 4
4 3 2

출력 예시
0 4 8 6
3 0 7 9
5 9 0 4
7 11 2 0

"""

import sys

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수 입력 받기
input = sys.stdin.readline

n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end = " ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end = " ")
    print()

콘솔 출력
0 4 8 6
3 0 7 9
5 9 0 4
7 11 2 0

이렇게 플로이드 워셜 알고리즘에 대해서 알아보았습니다. 플로이드 워셜 알고리즘은 시간 복잡도가 O($N^3$) 이기 때문에 모든 노드들에 대한 최단 경로를 구하라는 문제가 아니라면 사용하기에는 무리가 있다는 점을 반드시 숙지하시기 바랍니다.

마치며

최단 경로 알고리즘에서 다익스트라와 플로이드 워셜에 대해서 알아보았습니다. 다익스트라의 경우에는 문제에 자주 출제되니 예제 샘플을 보고 예제 코드를 자주 자주 작성하여 외울 수 있을 정도가 되어야 할 것 같습니다. 또한 플로이드 워셜 알고리즘의 경우 모든 노드의 최단 경로를 구하는 문제에서 자주 사용되니 일단 알고는 있어야 하고 설명에서는 복잡해 보이지만 코드만 보면 아주 간단하니 플로이드 워셜 알고리즘 또한 예제와 예제 코드를 보면서 외울 수 있도록 숙지해야할 듯 합니다. 최단 경로 알고리즘도 다른 알고리즘들과 같이 알고리즘 개념 정리만 끝나면 여러 문제들을 풀어보는 시간을 가지도록 하겠습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사드리며 잘못된 내용, 오타, 궁금하신 내용이 있으신 경우 댓글 달아주시기 바랍니다.